Turunan Fungsi

Turunan Fungsi – Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya

Pengertian Turunan
Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.
Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.
Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.
  • {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}
  • {\displaystyle y'} Ialah simbol untuk turunan pertama.
  • {\displaystyle y''} Ialah simbol untuk turunan kedua.
  • {\displaystyle y'''} Ialah simbol untuk turunan ketiga.
Simbol yang lainnya selain {\displaystyle y'\,} dan {\displaystyle y''\,} ialah {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,} dan{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.
Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).
Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.
Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan.
Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.
Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme
Dalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,
Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahan
Dan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:
  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

  1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai berikut:
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}
= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}
= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})
= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}
Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:
f'(x ) = nx^{n-1}

2.  Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x) \cdot v(x)

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}
=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}
= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)
= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)
u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x)=u'v+uv'

3. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
Sehingga,
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)
=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}
Maka, rumus turunan fungsinya adalah
f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x)=(u(x))^n

Perlu diingat, apabila f(x) = x^n, maka:
f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1
Karna f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}
Atau,
f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'

4. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:
  1. y = \sin x \rightarrow y' = \cos x
  2. y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x
  3. y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x
  4. y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x
  5. y = \sec x \rightarrow y'
  6. y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x
  7. y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x
  8. y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x
  9. y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u
  10. y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u
  11. y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u
  12. y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u
  13. y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u
  14. y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u
  15. y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u
  16. y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Intergal tentu Luas Daerah

Gambar
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= 4x  – x ² dan garis x= 6 ; sumbu x dan sumbu y ? Penyelesaian: Luas daerahnya adalah 21 1/3 satuan luas. 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= x ² – 2x – 3 dan garis x= 1 ; x= 4 ; sumbu x dan sumbu y ? Penyelesaian: Luas daerahnya adalah 7 2/3 satuan luas. 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x ² dan kurva y = -x ²+4x ; sumbu x dan sumbu y ? Penyelesaian: Luas daerahnya adalah 2 2/3 satuan luas. 4. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x ; y= 2x + 5 dan sumbu x ? Penyelesaian: Setelah digambar, grafiknya membentuk segitiga, sehingga konsep menghitung dengan integral bisa diabaikan. Jadi, luas daerahnya adalah 1 7/8 satuan luas. 5. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= x ²-2x+1 dan garis y= x+5 ? Penyelesaian: Luas daerah kurvanya adalah 20 5/6 satuan luas.
Baca selengkapnya

Koordinat Kutub atau Polar

Gambar
KOORDINAT KUTUB ATAU POLAR Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub) dalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah ditetapkan. {} Mengubah koordinat polar ( r , a ) ke kartesius ( x , y ) maka :  x = r cos a  y = r sin a {} Mengubah koordinat kartesius ( x , y ) ke polar ( r , a ) maka :  r = √x^2 + y^2  Tangen a = y/x CONTOH SOAL : 1. Tentukan koordinat yang diminta : a. ( 6 , 120º ) ke koordinat kartesius ( x , y ) b. ( -4 , -4 ) ke koordinat polar ( r , a ) Jawab  a. x = r . cos a        = 6 . cos 120º         = 6 . (-cos 60º)        = 6 . (-1/2)        = -3    y = r . sin a       = 6 . sin 120º       = 6 . (sin 60º) ...
Baca selengkapnya

Integral Tak Wajar

Gambar
Perhatikanlah gambar grafik ini : Pada bagian ini akan dipelajari integral dengan kasus batas [a, b] tak berhingga dan ada satu titik atau lebih pada [𝑏, 𝑐]. dimana 𝑔(𝑦) tidak terdefinisi. Inilah seperti ini dinamakan integral tak wajar.  Limit Tak Terhingga Limit tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞, yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar / mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar / mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f dititik c  untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Sebuah Limit Tak Terhingga Berikut adalah definisinya sebuah limit tak berhingga : Contoh dari limit tak hingga : Contoh 1 penyelesainnya : Contoh 2 Penyelesaian : Contoh 3 Penyelesaian : Contoh 4 : Penyelesaian : Kedua Limit Tak Berhingga Berikut adalah definisi dari kedua limit tak berhingga : Dari definisi diatas dapat diberikan contoh. Contoh 1 : ...
Baca selengkapnya